Matemática

                           Adição e Subtração

O desenvolvimento da investigação na área da Didática da Matemática traz novas referências para o tratamento das operações. Entre elas, encontram-se as que apontam os problemas aditivos e subtrativos como aspecto inicial a ser trabalhado na escola, concomitantemente ao trabalho de construção do significado dos números naturais.

A justificativa para o trabalho conjunto dos problemas aditivos e subtrativos baseia-se no fato de que eles compõem uma mesma família, ou seja, há estreitas conexões entre situações aditivas e subtrativas. A título de exemplo, analisa-se a seguinte situação:

“João possuía 8 figurinhas e ganhou mais algumas num jogo. Agora ele tem 13 figurinhas”.

Ao observar as estratégias de solução empregadas pelos alunos, pode-se notar que a descoberta de quantas figurinhas João ganhou, às vezes, é encontrada pela aplicação de um procedimento aditivo, e, outras vezes, subtrativo.

Isso evidencia que os problemas não se classificam em função unicamente das operações a eles relacionadas a priori, e sim em função dos procedimentos utilizados por quem os soluciona.

Outro aspecto importante é o de que a dificuldade de um problema não está diretamente relacionada à operação requisitada para a sua solução. É comum considerar-se que problemas aditivos são mais simples para o aluno do que aqueles que envolvem subtração.

Mas a análise de determinadas situações pode mostrar o contrário:

— Carlos deu 5 figurinhas a José e ainda ficou com 8 figurinhas. Quantas figurinhas Carlos tinha inicialmente?

— Pedro tinha 9 figurinhas. Ele deu 5 figurinhas a Paulo. Com quantas figurinhas ele ficou?

O primeiro problema, que é resolvido por uma adição, em geral se apresenta como mais difícil do que o segundo, que freqüentemente é resolvido por uma subtração.

Pelo aspecto do cálculo, adição e subtração também estão intimamente relacionadas. Para calcular mentalmente 40 - 26, alguns alunos recorrem ao procedimento subtrativo de decompor o número 26 e subtrair primeiro 20 e depois 6; outros pensam em um número que devem juntar a 26 para se obter 40, recorrendo neste caso a um procedimento aditivo.

A construção dos diferentes significados leva tempo e ocorre pela descoberta de diferentes procedimentos de solução. Assim, o estudo da adição e da subtração deve ser proposto ao longo dos dois ciclos, juntamente com o estudo dos números e com o desenvolvimento dos procedimentos de cálculo, em função das dificuldades lógicas, específicas a cada tipo de problema, e dos procedimentos de solução de que os alunos dispõem.

Dentre as situações que envolvem adição e subtração a serem exploradas nesses dois ciclos, podem-se destacar, para efeito de análise e sem qualquer hierarquização, quatro grupos:

Num primeiro grupo, estão as situações associadas à idéia de combinar dois estados para obter um terceiro, mais comumente identificada como ação de “juntar”.

Exemplo:

— Em uma classe há 15 meninos e 13 meninas. Quantas crianças há nessa classe?

A partir dessa situação é possível formular outras duas, mudando-se a pergunta. As novas situações são comumente identificadas como ações de “separar/tirar”. Exemplos:

— Em uma classe há alguns meninos e 13 meninas, no total são 28 alunos. Quantos meninos há nessa classe?

— Em uma classe de 28 alunos, 15 são meninos. Quantas são as meninas?

Num segundo grupo, estão as situações ligadas à idéia de transformação, ou seja, alteração de um estado inicial, que pode ser positiva ou negativa.

Exemplos:

— Paulo tinha 20 figurinhas. Ele ganhou 15 figurinhas num jogo. Quantas figurinhas ele tem agora? (transformação positiva).

— Pedro tinha 37 figurinhas. Ele perdeu 12 num jogo. Quantas figurinhas ele tem agora? (transformação negativa).

Cada uma dessas situações pode gerar outras:

— Paulo tinha algumas figurinhas, ganhou 12 no jogo e ficou com 20. Quantas figurinhas ele possuía?

— Paulo tinha 20 figurinhas, ganhou algumas e ficou com 27. Quantas figurinhas ele ganhou?

— No início de um jogo, Pedro tinha algumas figurinhas. No decorrer do jogo ele perdeu 20 e terminou o jogo com 7 figurinhas. Quantas figurinhas ele possuía no início do jogo?

— No início de um jogo Pedro tinha 20 figurinhas. Ele terminou o jogo com 8 figurinhas. O que aconteceu no decorrer do jogo?

Num terceiro grupo, estão as situações ligadas à idéia de comparação.

Exemplo:

— No final de um jogo, Paulo e Carlos conferiram suas figurinhas. Paulo tinha 20 e Carlos tinha 10 a mais que Paulo. Quantas eram as figurinhas de Carlos?

Se se alterar a formulação do problema e a proposição da pergunta, incorporando ora dados positivos, ora dados negativos, podem-se gerar várias outras situações:

— Paulo e Carlos conferiram suas figurinhas. Paulo tem 12 e Carlos, 7. Quantas figurinhas Carlos deve ganhar para ter o mesmo número que Paulo?

— Paulo tem 20 figurinhas. Carlos tem 7 figurinhas a menos que Paulo. Quantas figurinhas tem Carlos?

Num quarto grupo, estão as situações que supõem a compreensão de mais de uma transformação (positiva ou negativa).

Exemplo:

— No início de uma partida, Ricardo tinha um certo número de pontos. No decorrer do jogo ele ganhou 10 pontos e, em seguida, ganhou 25 pontos. O que aconteceu com seus pontos no final do jogo?

Também neste caso as variações positivas e negativas podem levar a novas situações:

— No início de uma partida, Ricardo tinha um certo número de pontos. No decorrer do jogo ele perdeu 20 pontos e ganhou 7 pontos. O que aconteceu com seus pontos no final do jogo?

— Ricardo iniciou uma partida com 15 pontos de desvantagem. Ele terminou o jogo com 30 pontos de vantagem. O que aconteceu durante o jogo?

Embora todas estas situações façam parte do campo aditivo, elas colocam em evidência níveis diferentes de complexidade. Note-se que no início da aprendizagem escolar os alunos ainda não dispõem de conhecimentos e competências para resolver todas elas, necessitando de uma ampla experiência com situações-problema que os leve a desenvolver raciocínios mais complexos por meio de tentativas, explorações e reflexões.

Desse modo, o trabalho com as operações deve ser planejado coletivamente pelos professores, não apenas para ser desenvolvido nos dois primeiros ciclos, mas também na quinta e sexta séries.

Multiplicação e Divisão

Uma abordagem freqüente no trabalho com a multiplicação é o estabelecimento de uma relação entre ela e a adição. Nesse caso, a multiplicação é apresentada como um caso particular da adição porque as parcelas envolvidas são todas iguais.

Por exemplo:

— Tenho que tomar 4 comprimidos por dia, durante 5 dias. Quantos comprimidos Preciso comprar?

A essa situação associa-se a escrita 5 x 4, na qual o 4 é interpretado como o número que se repete e o 5 como o número que indica a quantidade de repetições.

Ou seja, tal escrita apresenta-se como uma forma abreviada da escrita

4 + 4 + 4 + 4 + 4.

A partir dessa interpretação, definem-se papéis diferentes para o multiplicando (o número que se repete) e para o multiplicador (o número de repetições), não sendo possível tomar um pelo outro. No exemplo dado, não se pode tomar o número de comprimidos pelo número de dias. Saber distinguir o valor que se repete do número de repetições é um aspecto importante para a resolução de situações como esta.

No entanto, essa abordagem não é suficiente para que os alunos compreendam e resolvam outras situações relacionadas à multiplicação, mas apenas aquelas que são essencialmente situações aditivas.

Além disso, ela provoca uma ambigüidade em relação à comutatividade da multiplicação.

Embora, matematicamente, a x b = b x a, no contexto de situações como a que foi analisada (dos comprimidos) isso não ocorre.

Assim como no caso da adição e da subtração, destaca-se a importância de um trabalho conjunto de problemas que explorem a multiplicação e a divisão, uma vez que há estreitas conexões entre as situações que os envolvem e a necessidade de trabalhar essas operações com base em um campo mais amplo de significados do que tem sido usualmente realizado.

Dentre as situações relacionadas à multiplicação e à divisão, a serem exploradas nestes dois ciclos, podem-se destacar, para efeito de análise e sem qualquer hierarquização, quatro grupos:

Num primeiro grupo, estão as situações associadas ao que se poderia denominar multiplicação comparativa.

Exemplos:

— Pedro tem R$ 5,00 e Lia tem o dobro dessa quantia. Quanto tem Lia?

— Marta tem 4 selos e João tem 5 vezes mais selos que ela. Quantos selos tem João?

A partir dessas situações de multiplicação comparativa é possível formular situações que envolvem a divisão. Exemplo:

— Lia tem R$ 10,00. Sabendo que ela tem o dobro da quantia de Pedro, quanto tem Pedro?

Num segundo grupo, estão as situações associadas à comparação entre razões, que, portanto, envolvem a idéia de proporcionalidade.

Os problemas que envolvem essa idéia são muito freqüentes nas situações cotidianas e, por isso, são mais bem compreendidos pelos alunos.

Exemplos:

— Marta vai comprar três pacotes de chocolate. Cada pacote custa R$ 8,00. Quanto ela vai pagar pelos três pacotes? (A idéia de proporcionalidade está presente: 1 está para 8, assim como 3 está para 24.)

— Dois abacaxis custam R$ 2,50. Quanto pagarei por 4 desses abacaxis? (Situação em que o aluno deve perceber que comprará o dobro de abacaxis e deverá pagar — se não houver desconto — o dobro, R$ 5,00, não sendo necessário achar o preço de um abacaxi para depois calcular o de 4.)

A partir dessas situações de proporcionalidade, é possível formular outras que vão conferir significados à divisão, associadas às ações “repartir (igualmente)” e “determinar quanto cabe”.

Exemplos associados ao primeiro problema:

— Marta pagou R$ 24,00 por 3 pacotes de chocolate. Quanto custou cada pacote? (A quantia em dinheiro será repartida igualmente em 3 partes e o que se procura é o valor de uma parte.)

— Marta gastou R$ 24,00 na compra de pacotes de chocolate que custavam R$ 3,00 cada um. Quantos pacotes de chocolate ela comprou? (Procura-se verificar quantas vezes 3 cabe em 24, ou seja, identifica-se a quantidade de partes.)

Num terceiro grupo, estão as situações associadas à configuração retangular.

Exemplos:

— Num pequeno auditório, as cadeiras estão dispostas em 7 fileiras e 8 colunas. Quantas cadeiras há no auditório?

— Qual é a área de um retângulo cujos lados medem 6 cm por 9 cm?

Nesse caso, a associação entre a multiplicação e a divisão é estabelecida por meio de situações tais como:

— As 56 cadeiras de um auditório estão dispostas em fileiras e colunas. Se são 7 as fileiras, quantas são as colunas?

— A área de uma figura retangular é de 54 cm2. Se um dos lados mede 6 cm, quanto mede o outro lado?

Num quarto grupo, estão as situações associadas à idéia de combinatória.

Exemplo:

— Tendo duas saias — uma preta (P) e uma branca (B) — e três blusas — uma rosa (R), uma azul (A) e uma cinza (C) —, de quantas maneiras diferentes posso me vestir?

Analisando-se esses problemas, vê-se que a resposta à questão formulada depende das combinações possíveis; no segundo, por exemplo, os alunos podem obter a resposta, num primeiro momento, fazendo desenhos, diagramas de árvore, até esgotar as possibilidades:

Esse resultado que se traduz pelo número de combinações possíveis entre os termos iniciais evidencia um conceito matemático importante, que é o de produto cartesiano.

Note-se que por essa interpretação não se diferenciam os termos iniciais, sendo compatível a interpretação da operação com sua representação escrita. Combinar saias com blusas é o mesmo que combinar blusas com saias e isso pode ser expresso por 2 x 3 = 3 x 2.

A idéia de combinação também está presente em situações relacionadas com a divisão:

— Numa festa, foi possível formar 12 casais diferentes para dançar. Se havia 3 moças e todos os presentes dançaram, quantos eram os rapazes?

Os alunos costumam solucionar esse tipo de problema por meio de tentativas apoiadas em procedimentos multiplicativos, muitas vezes representando graficamente o seguinte raciocínio:

— Um rapaz e 3 moças formam 3 pares.

— Dois rapazes e 3 moças formam 6 pares.

— Três rapazes e 3 moças formam 9 pares.

— Quatro rapazes e 3 moças formam 12 pares.

Levando-se em conta tais considerações, pode-se concluir que os problemas cumprem um importante papel no sentido de propiciar as oportunidades para as crianças, do primeiro e segundo ciclos, interagirem com os diferentes significados das operações, levando-as a reconhecer que um mesmo problema pode ser resolvido por diferentes operações, assim como uma mesma operação pode estar associada a diferentes problemas.

Aprendendo Matemática com Dobraduras

Na educação infantil, o trabalho com dobraduras nas aulas de matemática é importante, pois, além de ser desafiador e atrativo para os alunos, envolve atividades que proporcionam a aquisição de habilidades espaciais e geométricas. Fazer dobraduras vai além da geometria, envolve relações sociais, interação do grupo, auto-estima e iniciativa para enfrentar desafios.

 

Objetivos:

Reconhecer e nomear figuras geométricas, perceber suas respectivas propriedades e habilidades espaciais tais como a coordenação motora-visual, memória visual, discriminação visual, percepção espacial, composição e decomposição de figuras e constância de forma.

Preparação da aula:

Você vai precisar de papel branco (sulfite, ofício, etc.), papel dobradura (recomendamos o papel espelho de forma quadrada ou retangular), cola e canetinha hidrocor.

SEQUÊNCIA DIDÁTICA:

1ª etapa:

As dobraduras podem ser motivadas com músicas ou histórias, tornando o trabalho mais significativo para as crianças. Recomendamos que essa etapa seja realizada com crianças de 2 e 3 anos.

Nessa etapa, usaremos papel branco. Inicie explorando o papel com as crianças, solicite que amassem, alisem, rasguem e torçam o papel; deixe que façam uma bola para chutá-la, arremessá-la, etc.

Consideramos importante que a criança conheça o material, manipule-o e perceba todas as suas possibilidades, para que futuramente consiga fazer dobraduras mais elaboradas.

2ª etapa:

Essa seqüência é conhecida como: “Seqüência do banho”. Recomendamos essa atividade para crianças de 3 e 4 anos.
A atividade desenvolve a noção do esquema corporal, bem como a discriminação visual e auditiva. Além disso, favorece a comunicação verbal, na medida em que se solicita a participação de todos os envolvidos.
Proponha a atividade para as crianças como uma brincadeira de “faz-de-conta”. Usaremos o papel branco, e este será manuseado para servir de chuveiro, sabão, toalha e outras coisas.
Conduza a brincadeira propondo situações-problema às crianças, conforme a seguir: “Faz de conta que hoje está muito calor. O que podemos fazer para nos refrescar? Quem vocês conhecem que não gosta de tomar banho? Podemos cantar uma música para ele? Vocês gostam de tomar banho? Que tal tomarmos um agora?”. Diga às crianças que será utilizada uma folha de cada vez e que todas precisam ficar em pé. “Vamos abrir a torneira. O que pode ser a torneira? Vamos fazer uma torneira com o papel?. Agora o chuveiro está funcionando, o que pode ser o chuveiro? Que barulho a água faz quando está caindo do chuveiro? Agite a folha de papel acima da cabeça, imitando sons de água caindo.” Pode-se também agitar as folhas com as duas mãos ao mesmo tempo. “Agora sim! Podemos passar o sabonete e a bucha. O que temos que fazer para que o chuveiro vire isso?” Vá brincando e interagindo com as crianças de modo que elas transformem o papel nas mais variadas situações, podendo manipular, amassar, dobrar, alisar, etc.

3ª etapa:

Depois da exploração e do conhecimento do papel, podemos iniciar com atividades mais dirigidas. Essa atividade deve ser realizada com crianças a partir de 3 e 4 anos.

Distribua um papel dobradura para cada criança enquanto você conta uma história. Ao final, peça que retratem com o papel o que imaginaram ou sentiram através da história contada. Socialize montando um painel com as produções das crianças, pedindo que contem suas sensações. O foco desse trabalho é auxiliar as crianças a nomear e reconhecer as formas geométricas. Para isso, faça alguns questionamentos:

·         Que forma tinha o papel antes de vocês começarem a dobra?

·         Que novas formas apareceram com as dobras?

·         Quem pode mostrar uma dobra na qual aparece um triângulo?

4ª etapa:

Nessa etapa, o objetivo é fazer com que as crianças obtenham novas formas geométricas a partir de um quadrado. Sugerimos que você utilize papel dobradura na forma de um quadrado de diferentes cores.
Inicie a atividade perguntando às crianças como podemos transformar o quadrado em duas formas iguais? Que outras formas podemos obter? Quem conseguiria transformar o quadrado em 2 triângulos? E em 4 triângulos?

Nessa etapa, é importante que você conheça todas as possibilidades de dobras, de modo que suas intervenções auxiliem o aluno a superar novos desafios e avançar em seu conhecimento. Após a exploração, monte um cartaz com as descobertas feitas.

5ª etapa:

A proposta desta atividade é que as crianças façam uma dobradura simples com poucas dobras. Daremos como exemplo a “Tulipa”. 
Essa atividade é recomendada para crianças a partir de 4 anos que já realizaram atividades semelhantes às descritas anteriormente. 
Durante a execução da atividade, é preciso garantir que todas as crianças sejam atendidas, ou seja, o acompanhamento do professor é fundamental para que a atividade seja motivadora. Sente-se com seus alunos e vá fazendo passo a passo a dobradura com eles. Procure utilizar um vocabulário matemático correto: unir vértice com vértice, dobrar um lado, depois o outro.

Conclua a atividade com uma colagem. É possível ainda pedir que os alunos completem a colagem com outros desenhos.